Funktionalanalysis

Die Funktionalanalysis befasst sich mit der Theorie der unendlich-dimensionalen normierten Vektorräume und der stetigen linearen Abbildungen zwischen ihnen. Funktionalanalytische Methoden finden weite Anwendungen etwa in der Analysis, der Numerischen Mathematik oder der Wahrscheinlichkeitstheorie. Etwa in der Theorie der Differentialgleichungen wird die gesuchten Funktion als Element x eines geeigneten normierten Raums aufgefasst, und man hat dann eine Gleichung Ax=b zu lösen, wobei A eine (im "einfachsten" Fall lineare) Abbildung eines normierten Raums in einen anderen beschreibt. In dieser ersten Veranstaltung lernen Sie Banachräume kennen, insbesondere solche mit Funktionen als Elementen, z.B. die Lebesgue- und Sobolevräume. Im weiteren Verlauf studieren wir insbes. lineare Abbildungen zwischen Funktionenräumen und untersuchen, inwieweit sich die für Abbildungen auf dem euklidischen Raum R^n bekannten Konzepte und Resultate der linearen Algebra und Analysis auf Abbildungen zwischen Funktionenräumen übertragen lassen. Der Begriff der Kompaktheit wird eine zentrale Rolle spielen.

Dier Vorlesung endet mit einem Ausblick in die nichtlineare Funktionalanalysis, die dem Studium nichtlinearer Abbildungen zwischen Funktionenräumen gewidmet ist.

Literatur:

Werner, D.: Funktionalanalysis, Springer

Alt, H. W.: Lineare Funktionalanalysis, Springer

Rudin, W.: Functional Analysis, Tata McGraw-Hill

Appell, J. + Väth, M.: Elemente der Funktionalanalysis, Vieweg

Brezis, H.: Functional Analysis, Sobolev spaces and partial differential equations, Springer

Heuser, H.: Funktionalanalysis, Teubner

Zeidler, E.: Functional Analysis and its Applications: Part 2 A: Linear Monotone Operators, Springer

Einen Einblick in die nichtlineare Funktionalanalysis vermitteln:

Ruzicka, M.: Nichtlineare Funktionalanalysis, Springer

Zeidler, E.: Functional Analysis and its Applications: Part 2 B: Nonlinear Monotone Operators, Springer

und auch 

Appell, J. + Väth, M.: Elemente der Funktionalanalysis, Vieweg