Wir möchten uns mit der Topologie, der Lehre der Formen, befassen. Diese findet in vielen Gebieten der Mathematik Anwendung, z.B. Analysis, algebraische Geometrie, Gruppen- und Zahlentheorie.
Anfangs werden wir dazu die zugrundeliegenden Begriffe, Konzepte und Konstruktionen kennenlernen. Eine grundlegende Idee wird sein, einem Objekt eine oder mehrere Eigenschaften und "Invarianten” zuzuordnen. Dies ermöglicht unter anderem, diese Objekte bis auf stetige Verformung zu klassifizieren, so ist beispielhaft eine Kaffeetasse in einen Donut, nicht aber einen Ball deformierbar. Die dabei entwickelten Begriffe und Methoden gehen jedoch weit darüber hinaus.
Das für uns wichtigste Beispiel einer Invariante wird die Fundamentalgruppe π1(X,x) eines Raumes X und eines Punktes x∈ X sein. Diese besteht aus innerhalb X verlaufenden Rundwegen von x nach x, wobei zwei Rundwege als gleich angesehen werden, wenn sie stetig ineinander verformt werden können. Interessanterweise kann man zwei beliebige solche Rundwege verknüpfen, indem man erst denn einen, dann den anderen durchläuft, was π1(X,x) zu einer Gruppe macht. Wir werden uns eingehender mit den Eigenschaften dieser Fundamentalgruppe befassen, wie etwa dem Verhalten unter Deformationen, stetigen Abbildungen und diversen Operationen topologischer Räume.
- Lehrende(r): Daniel Harrer